הקשר המחונן, בן ה-24, גדל בקבוצת הנוער של בית"ר נס טובורק רשם את הופעת הבכורה שלו בליגת העל עשה במדי מכבי חיפה אליה עבר ב-2008.

אחרי שהספיק לרשום פרק שכלל זכייה בשתי אליפויות והשתתפות עם חיפה בשלב הבתים של ליגת האלופות והליגה האירופית, חתם גולסה ב-2014 בשורות הקבוצה עם המסורת הארוכה בליגה היוונית – פאוק סלוניקי.

כבר בעונה הראשונה רשם גולסה 24 הופעות במדי הקבוצה היוונית, מתוכם 14 משחקים בהרכב הראשון, וזאת למרות תקופת הסתגלות לא קלה שכללה פציעות שקטעו את רצף המשחקים של הקשר. עם זאת ועל אף היכולת המרשימה, גולסה לא זכה לכבוש ולבשל באותה עונה, ולכן המאמן הקרואטי, איגור טודור, הורה לקשר הצעיר לפתוח את העונה לאחר מכן בליגת המילואים.

למרות האכזבה הגדולה, גולסה החל את האימונים עם קבוצת המילואים והרצינות, המחוייבות וההשקעה שלו הובילו את המאמן הקרואטי, חודש אחד בלבד אחרי אותה שיחה כואבת, לקרוא לגולסה ולזמן אותו לסגל הקבוצה הראשונה. עשרה ימים לאחר מכן, גולסה כבר פרע את השטרות בניצחון קבוצתו 0:2 על פנתראקיקוס. מאז אותו משחק, סיפרו ביוון, גולסה רכש את אמונות של טודור והפך להיות שחקן הרכב מוביל.

לאחר שנתיים במדי סלוניקי, 50 משחקים, אייל גולסה נחת בארץ ולבש את המדים הצהובים-כחולים.

2016/17

בעונתו הראשונה במדים הצהובים רשם גולסה בישול יחיד ו-2 שערים. אחד מהשערים היה במעמד שלב הבתים של הליגה האירופית, הקשר כבש שער ניצחון יוקרתי נגד אלקמאר ההולנדית. גולסה השלים 33 הופעות בעונה שהסתיימה ללא תארים.

2017/18

בעונה זו המשיך גולסה להיות אחד השחקנים המרכזיים של מכבי במרכז השדה וזכה ללא מעט קרדיט מהמאמן ג'ורדי קרויף. גולסה מילא תפקיד חשוב בעלייה לשלב הבתים בליגה האירופית, אך במהלך אוגוסט נפצע ונעדר כ-3 חודשים מהמגרשים, במה שגם גרם לו להחמיץ חלק ניכר מהקמפיין האירופי עצמו. לאחר החזרה מהפציעה המשיך לשמור על מקומו בקישור ובסך הכל רשם 32 הופעות (20 בליגה) בהן בישל 4 שערים.

2018/19

גולסה סייע למכבי לפתוח את הליגה בצורה טובה בדרך לקמפיין שהסתיים בהחזרת תואר האליפות לקריית שלום. לצערו הוא נאלץ להחמיץ חלק ניכר מהעונה לאחר שסבל מפציעה שהשביתה אותו החל מחודש נובמבר 2018. בסך הכל בעונה זו רשם 17 הופעות, בהן הבקיע פעמיים ובישל שער נוסף.

2019/20

הקשר חזר למגרשים לקראת סוף חודש ספטמבר 2019 ועד מהרה תפס את המקום במרכז השדה. יכולתו סייעה למכבי להשלים זכייה שנייה ברציפות באליפות כשמבחינה אישית לבש 31 פעמים את המדים הצהובים, כבש 4 שערים והוסיף 4 בישולים. מעונה זו זכור במיוחד השער הנהדר שכבש ב-0:3 על הפועל ת"א בדרבי השני בליגה.