אלי דסה החל לשחק כדורגל בקבוצת סקציה נס ציונה ובגיל 13 עבר למחלקת הנוער של מכבי תל אביב. לפני שעלה לנערים א', עבר המגן לבית"ר ירושלים שם התקדם על להופעת הבכורה בקבוצה הבוגרת אותה ערך בעונת 2010/11. דסה שיחק בבית"ר בסך הכל ארבע עונות.

דסה היה שותף לאורך הקריירה בכל הנבחרות הצעירות של ישראל, ובשנת 2013 היה חלק מהנבחרת הצעירה שאירחה את היורו לנבחרות הצעירות שנערך בישראל.

2015/16

ב-10 לאוגוסט חתם אלי דסה במכבי תל אביב בעסקה משותפת שכללה גם את שלומי אזולאי שעבר מהבירה לתל אביב. אלי דסה לא יכל להשתתף בקמפיין המוקדמות עקב השעיה שספג בעת קמפיין מוקדמות הליגה האירופית בה שיחק עם בית"ר, אך שיחק בשלב הבתים שלושה משחקים בליגת האלופות נגד דינמו קייב וצ'לסי. המגן שותף בכל העונה ב-32 משחקים רשמיים שכללו שני שערים (שער הבכורה שלו נגד הפועל באר שבע) וארבעה בישולים.

2016/17

בעונתו השנייה במועדון אלי דסה רשם 47 הופעות רשמיות שכללו 7 בישולים. משחק מרשים שהיה למגן הצהוב הוא בניצחון 0:3 על קריית שמונה כשבישל 2 שערים לוידאר קיארטנסון.

2017/18

דסה המשיך בקבוצה גם לעונה זו, אך סבל מפציעה ארוכה שהשביתה אותו בחלקים הראשונים של העונה. דסה שב לפעילות במהלך חודש דצמבר וסייע למכבי לייצר ריצה טובה בליגה במהלך הסיבוב השני. בעונה זו הוא המשיך את שיתוף הפעולה המוצלח עם קריארטנסון ובסך הכל רשם 18 הופעות ליגה בהן השיג 4 בישולים וכבש שער אחד. בכל המסגרת הופיע 24 פעמים במדי מכבי וכבש גם שער נוסף במוקדמות הליגה האירופית מול טיראנה.

2018/19

את עונת 2018/19 פתח דסה עם הדחה של הקבוצה בשלב פלייאוף הליגה האירופית. בזירה המקומית זכה דסה בגביע הטוטו ובאליפות ראשונה שלו במדי מכבי שהייתה גם לאליפות היסטורית של המועדון. בסיום העונה סיים דסה את חוזהו במועדון וסיים קדנציה של ארבע שנים במדי מכבי.