החלוץ האגדי של מכבי תל אביב שהחל את דרכו דווקא כמגן, גדל במחלקת הנוער של המועדון ועלה לשורות הקבוצה הבוגרת בשנת 1945 כשחקן צעיר בן 18. כבר בשנתיים הראשונות שלו בקבוצה, בתקופה שלפני קום המדינה, חגג גלזר שני גביעי מדינה (1945/46, 1946/47). זו הייתה רק תחילתה של קריירה מפוארת ומלאת תארים לחלוץ שהיה אימת הגנות הליגה במשך כל שנות החמישים. ציון הדרך הראשון של גלזר במכבי ת"א הגיע בעונת 1951/52 אז כבש 27 שערים וקבע שיא שערים לעונה עבור שחקן מכבי שהחזיק עד לשבירת השיא של ערן זהבי בעונת 2013/2014.
שייע גלזר היה גם תקופה ארוכה מלך השערים בכל הזמנים של מכבי ת"א כאשר לזכותו רשומים 130 שערים במדים הצהובים כחולים. החלוץ הבולט כבש לא פעם בצמדים, שלישיות ואף רביעיות ובמשחק הפורה ביותר שלו כבש שישה שערים נגד הפועל בלפוריה בעונת 1954/55. גלזר היה חוד החנית של מכבי ת"א בשנות ה-50 והוביל אותה לתארים רבים ולשליטה מוחלטת בכדורגל הישראלי בשנים אלו.
חמישה תארי אליפות היו לגלזר עם מכבי ת"א: 1949/50, 1951/52, 1953/54, 1955/56, 1957/58. בגביע המדינה, בנוסף לשניים בהם זכה לפני קום המדינה לגלזר יש עוד ארבעה תארים במדים הצהובים: 1953/54, 1954/55, 1957/58, 1958/59. מתוך ששת הגמרים גלזר כבש בחמישה ובחלקם שימש גם כקפטן. גלזר, שבתקופתו הפך את החולצה מספר 9 לסמל סיים גם כמלך השערים של הליגה בעונות 1951/52 ו-1956/57. גם במדי נבחרת ישראל גלזר היה דמות בולטת במשך תקופה לא מבוטלת. בין השנים 1949-1961 הוביל גלזר את התקפת הנבחרת עם 18 שערים ב-35 הופעות.
התמונות באדיבות ארכיון ההתאחדות לכדורגל
.
